a.f.s家具价格定位

1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在（a,b）内有f′（x）>0,证明：在（a,b）

∵S1= ∫ ξ a [f（ξ）？f(x)]dx=（ξ？a）f（ξ）？ ∫ ξ a f(x)dx,S2= ∫ b ξ [f(x)?f（ξ）]dx= ∫ b ξ f(x)dx?(b？ξ)f（ξ）∴由S1=3S2得：（ξ？a）f（ξ）？ ∫ ξ a f(x)dx=3 ∫ b ξ f(x)dx?3(b？ξ)f（ξ）…①下证方程①在ξ∈（a,b）有唯一解首先证明解的存在性，其次证明解的唯一性设F（ξ）=（ξ？a）f（ξ）？ ∫ ξ a f(x)dx?3 ∫ b ξ f(x)dx+3(b？ξ)f（ξ），则F（ξ）在[a,b]连续，在（a,b）可导，且F(a)=3(b?a)f(a)?3 ∫ b a f(x)dxF(b)=(b?a)f(b)？ ∫ b a f(x)dx由定积分的几何意义，很明显可以看出：F(a)0∴由零点定理知，在（a,b）至少存在一点ξ，使得F（ξ）=0即：在（a,b）至少存在一点ξ，使得S1=3S2又∵F′（ξ）=（ξ-a）f'（ξ）+f（ξ）-f（ξ）+3f（ξ）-3f（ξ）+3(b-ξ)f'（ξ）=（3b-a-2ξ）f'（ξ）而ξ∈（a,b）∴3b-a-2ξ>0∴F′（ξ）>0∴F（ξ）在（a,b）单调递增∴F（ξ）在（a,b）只有唯一解故：？唯一ξ∈（a,b），使得S1=3S2命题得证。